La distribution normale

Source : Module 4 — Phase « Measure » · Statistiques de base — La distribution normale (p. 155–165).

QCM 1 — Concepts (10 questions) → QCM 2 — Application & pièges (10 questions) →

1 · Distribution normale & normalité

• La distribution normale — aussi appelée courbe de Gauss ou loi normale — est une distribution de probabilité qui décrit la manière dont les valeurs d'un ensemble de données se répartissent autour de la moyenne.
• C'est l'une des distributions les plus importantes en statistique : elle modélise de nombreux phénomènes naturels, sociaux et industriels.
• La normalité est le concept qui indique qu'un ensemble de données suit une distribution normale.
• Vérifier la normalité est crucial : de nombreux tests reposent sur cette hypothèse — tests t de Student, intervalles de confiance, analyses de variance (ANOVA).
• On teste donc souvent la normalité pour s'assurer que les données respectent les critères d'une analyse de qualité et de variabilité fiable.

D // Module 4 : Phase « Measure » — p. 155

2 · Caractéristiques & fonction de densité

Un processus dont la sortie suit une loi normale est un processus où :

• seule une erreur aléatoire est présente ;
• le processus est sans cause assignable (pas de cause spéciale) ;
• le processus est exempt de dérives et de décalages.

La courbe est lisse, symétrique et en forme de cloche, générée par la fonction de densité :

Y = 1 / (σ√(2π)) · e^{−½[(x−μ)/σ]²}

• C'est le modèle de probabilité continu le plus utile : beaucoup de mesures naturelles (tailles, poids…) sont approximativement distribuées normalement.
• Chaque combinaison de moyenne et d'écart-type génère une courbe normale unique : μ fixe la position, σ fixe l'étalement.

D // Module 4 : Phase « Measure » — p. 156–158

3 · Loi normale centrée réduite & Z-score

• La loi normale centrée réduite (dite standard) a μ = 0 et σ = 1.
• Les données de n'importe quelle distribution normale peuvent être ramenées à la normale standard en appliquant le Z-score :

Z = (X − μ) / σ

• Le Z-score mesure le nombre d'écarts-types qui séparent une valeur de la moyenne.

D // Module 4 : Phase « Measure » — p. 159

4 · Aire sous la courbe & table Z

• L'aire sous la courbe entre deux points représente la proportion de la distribution comprise entre ces points.
• La surface entre la moyenne et un autre point dépend de l'écart-type.
• Méthode : convertir le score brut en Z-score, puis lire la proportion dans une table normale standard N(Z).

Exemple : proportion de valeurs comprises entre ± 2 écarts-types ?

• Z = 2 → P = 97,72 % ;   Z = −2 → P = 1 − 0,9772 = 2,28 %.
• Entre −2σ et +2σ : 97,72 % − 2,28 % = 95,44 %.

D // Module 4 : Phase « Measure » — p. 160–161

5 · Exercice type — proportion de pièces non conformes

Contrôle de meubles de cuisine, hauteur cible et tolérance : 50,5 ± 0,2. Échantillon : X̄ = 50,41 ; S = 0,1 ; distribution normale.

• Limites : basse = 50,5 − 0,2 = 50,3 ; haute = 50,5 + 0,2 = 50,7.
• Z-scores : Z1 = (50,3 − 50,41) / 0,1 = −1,1 ; Z2 = (50,7 − 50,41) / 0,1 = 2,9.
• Table Z : P1 = 1 − 0,8643 = 0,1357 (13,57 % sous la limite basse) ; P2 = 1 − 0,9981 = 0,0019 (0,19 % au-dessus de la limite haute).
• Pièces non conformes : 13,57 % + 0,19 % ≈ 13,76 %.

D // Module 4 : Phase « Measure » — p. 163–164

6 · La règle empirique (règle des 3 sigmas)

Pour une distribution normale, presque toutes les valeurs se situent à moins de 3 écarts-types de part et d'autre de la moyenne :

D // Module 4 : Phase « Measure » — p. 165