Paramètres d'une distribution

Source : Module 4 — Phase « Measure » · Statistiques de base — Paramètres d'une distribution (p. 149–153).

QCM 1 — 10 questions → QCM 2 — 10 questions (approfondissement) →

1 · Les deux paramètres d'une distribution

Une population et/ou un échantillon se caractérisent par deux informations nécessaires :

• la tendance centrale — le positionnement sur l'échelle de valeurs ;
• la dispersion — l'éparpillement des valeurs.

• La tendance centrale est exprimée par la moyenne ou la médiane, éventuellement le mode.
• La dispersion est exprimée par l'étendue ou l'écart-type.

D // Module 4 : Phase « Measure » — p. 149

2 · Tendance centrale

La moyenne

La moyenne correspond à la moyenne arithmétique d'une série de valeurs :

μ = Σxᵢ / N

• reflète l'influence de toutes les valeurs ;
• fortement influencée par les valeurs extrêmes ;
• exemple — série de valeurs : 1 ; 2 ; 2,5 ; 100 → moyenne = 22.

Le mode

• Le mode (ou valeur dominante) est la valeur la plus représentée dans une population donnée — la plus répétée dans la série de valeurs.
• Seul indicateur de tendance centrale utilisable sur des données catégorielles (nominales).

La médiane

• Valeur de la variable telle que la moitié des valeurs se situent au-dessus et la moitié au-dessous :
  • si le nombre de valeurs est impair, c'est la valeur du milieu ;
  • si le nombre de valeurs est pair, c'est la moyenne des 2 valeurs du milieu ;
• n'est pas influencée par les valeurs extrêmes ;
• exemples :
  • série : 1 ; 2 ; 2,5 ; 100 → médiane = 2,25 ;
  • série : 1 ; 2 ; 2,5 ; 100 ; 100 000 → médiane = 2,5.

D // Module 4 : Phase « Measure » — p. 149–150

3 · Médiane, quartiles & écart interquartile

La boîte à moustache (répartition des quartiles)

┌─────────────┐
│             │ ← Quartile 3 = 25 % des données
│      •      │ ← Médiane   = 50 % des données
│             │ ← Quartile 1 = 25 % des données
└─────────────┘

Le quartile-range de Tukey (IQR — Interquartile Range)

• Mesure de dispersion utilisée pour évaluer la variabilité d'un ensemble de données ; utile pour repérer les valeurs extrêmes car il donne l'étendue centrale sans être influencé par les valeurs aberrantes.
• Différence entre le troisième et le premier quartile :

IQR = Q3 − Q1  —  si Q1 = 10 et Q3 = 20, alors IQR = 20 − 10 = 10

• Mesure la variabilité centrale et la concentration des valeurs autour de la médiane. En ignorant les 25 % inférieurs et supérieurs, il est moins sensible aux valeurs extrêmes que l'étendue.
• Pour la boîte à moustache, les moustaches valent 1,5 × IQR :

moustache inférieure = Q1 − 1,5 × (Q3 − Q1)
moustache supérieure = Q3 + 1,5 × (Q3 − Q1)

D // Module 4 : Phase « Measure » — p. 150

4 · Dispersion

L'étendue

étendue = valeur maximale − valeur minimale

• Ne dépend que des deux valeurs extrêmes : une seule valeur aberrante suffit à la faire exploser, sans refléter la variabilité réelle des données.

L'écart-type

Racine carrée de la variance :

σ = √( (1/n) Σ(xᵢ − μ)² )

• Grandeur difficile à se représenter mais qui reflète bien la dispersion des valeurs autour de la moyenne — même unité que les données.
• Plus l'écart-type est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de la moyenne ; plus il est grand, plus les valeurs s'en éloignent.

La variance

Moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

V = σ² = (1/n) Σ(xᵢ − μ)²

• Plutôt utilisée dans les étapes intermédiaires de calcul : on peut additionner des variances (sources indépendantes) mais pas des écarts-types.

D // Module 4 : Phase « Measure » — p. 153

5 · Facteur de stabilité & coefficient de variation

Facteur de stabilité (SF)

• Ratio du 1^er et du 3^e quartile.
• Rappel :
  • Q1 : plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales ;
  • Q3 : plus petite valeur telle qu'au moins 75 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.

SF = Q1 / Q3

Coefficient de variation (CV)

• Noté CV, Cv ou c ; aussi appelé écart-type relatif — l'écart-type divisé par la moyenne.
• Indicateur sans dimension : permet de comparer des variabilités lorsque les unités de mesure diffèrent.
• Souvent exprimé en pourcentage. On le doit à Carl Pearson.

CV = σ / μ

D // Module 4 : Phase « Measure » — Facteur de stabilité et coefficient de variation (après p. 153)