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Module 4 · Phase « Measure »

Le théorème de la limite centrée

Pourquoi la moyenne d'un échantillon assez grand suit toujours une loi normale — même si la population, elle, ne l'est pas. Le résultat qui fait tenir toute la statistique inférentielle : erreur-type σ/√n et intervalle de confiance à 95 %.

Source : Module 4 — Phase « Measure » · Statistiques de base — Théorème de la limite centrée (p. 173).

Sommaire du chapitre complet : définition · types de données · paramètres d'une distribution · facteur de stabilité et coefficient de variation · la distribution normale · les distributions non-normales · population vs. échantillon · théorème de la limite centrée.

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QCM 1 — 10 questions QCM 2 — 10 questions

Le théorème de la limite centrée : à partir d'une population de forme quelconque, la distribution des moyennes d'échantillons de taille n ≥ 30 tend vers une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ/√n.
Le théorème de la limite centrée (support Module 4 — Measure).
Animation : la distribution des moyennes d'échantillons converge vers une loi normale.
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Version audio du cours sur le théorème de la limite centrée.

1 · La distribution de la moyenne des échantillons

L'expérience de pensée qui fonde le théorème :

  • on part d'une population de valeurs individuelles à la distribution quelconque ;
  • on prélève un échantillon et on calcule sa moyenne ;
  • on répète l'opération de nombreuses fois → on obtient une collection de moyennes d'échantillons ;
  • on étudie la distribution de ces moyennes.

Théorème de la limite centrée : dès que la taille des échantillons est suffisamment grande (30 ou plus), la distribution de la moyenne des échantillons suit une loi normale — quelle que soit la forme de la distribution des valeurs individuelles.

2 · Moyenne, erreur-type & taille d'échantillon

  • La moyenne des moyennes des échantillons est égale à la moyenne de la population :

μx̄ = μ

  • L'écart-type de la moyenne des échantillons vaut l'écart-type de la population divisé par la racine de n (taille des échantillons) :

σx̄ = σ / √n

  • Cet écart-type porte un nom : l'erreur-type (standard error).
  • Il diminue quand n augmente : on réduit donc l'incertitude sur la moyenne de la population en agrandissant les échantillons.

D // Module 4 : Phase « Measure »

3 · Énoncé du théorème

Si des échantillons aléatoires de taille n sont prélevés dans une population de distribution quelconque, de moyenne μ et d'écart-type σ, alors la distribution de la moyenne des échantillons :

  • a une moyenne μx̄ = μ et un écart-type σx̄ = σ / √n ;
  • et est distribuée normalement :
    • si la population est elle-même distribuée normalement ;
    • ou si la taille des échantillons est d'au moins 30, dans le cas où la population n'est pas normale.

D // Module 4 : Phase « Measure » — p. 173

4 · À quoi ça sert : l'intervalle à 95 %

En quoi le TCL aide-t-il quand on utilise un échantillon pour analyser une population ?

  • La loi normale nous dit que 95 % des valeurs se situent à moins de 2 écarts-types de la moyenne (plus précisément 1,96).
  • Appliqué à la distribution des moyennes d'échantillons : il y a 95 % de probabilité que la moyenne de l'échantillon se situe à moins de ± 2 erreurs-types de la vraie moyenne (celle de la population).

C'est le point de départ des intervalles de confiance et des tests d'hypothèses : plus l'échantillon est grand, plus l'erreur-type σ/√n est petite, et plus l'estimation de la moyenne de la population est serrée.

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